EJEMPLOS DE LA LEY DE SENOS

Hasta ahora hemos resuelto triángulos rectángulos, pero también es común encontrar problemas con triángulos que no son rectángulos, como acutángulos u obtusángulos. Para resolver estos problemas el método que hemos utilizado no funciona, pero podemos utilizar la ley de senos.

Ejemplo 1

Resuelve el siguiente triángulo isósceles:

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Como el triángulo es isósceles, los dos lados inclinados miden 3 cm. Vamos a demostrarlo usando la ley de senos. Para esto definimos: $a = 3$ cm, $\alpha = 50\textdegree$ , $\beta = 50\textdegree$ y necesitamos calcular $b$ . Utilizando:

$\begin{equation*} \frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} \end{equation*}$

podemos despejar $b$ para obtener:

$\begin{equation*} b = \frac{a\,\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{3\,\sin(50\textdegree)}{\sin(50\textdegree)} = 3\mbox{ cm} \end{equation*}$

Con esto queda demostrado que es un triángulo isósceles. Para calcular la longitud de la base, debemos notar que la suma de los dos ángulos conocidos es $100\textdegree$ y que el tercer ángulo debe medir $80\textdegree$ . Con esto podemos volver a utilizar la ley de senos para calcular la longitud de $c$ :

$\begin{equation*} \frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\gamma}{c}\qquad\Rightarrow\qquad c = \frac{a\,\sin\gamma}{\sin\alpha} \end{equation*}$

Ahora solamente sustituimos los valores conocidos:

$\begin{equation*} c = \frac{a\,\sin\gamma}{\sin\alpha} = \frac{3\,\sin(80\textdegree)}{\sin(50\textdegree)} \approx 3.85673\mbox{ cm} \end{equation*}$

Y con esto hemos resuelto este triángulo acutángulo.

La ley de senos también funciona para triángulos obtusángulos, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2

Resuelve el siguiente triángulo obtusángulo:

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En este caso $a = 5$ cm, $\beta = 15\textdegree$ , $\gamma= 100\textdegree$ y podemos calcular $\alpha$ :

$\begin{equation*} \alpha = 180\textdegree - 15\textdegree - 100\textdegree = 65\textdegree \end{equation*}$

Ahora podemos calcular la longitud del lado $b$ aplicando la ley de senos:

$\begin{equation*} \frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{\sin(65\textdegree)}{5} = \frac{\sin(15\textdegree)}{b} \end{equation*}$

Despejando y resolviendo obtenemos: $b \approx 1.427876$ cm.
Finalmente, podemos calcular el valor de $c$ :

$\begin{equation*} \frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\gamma}{c}\qquad\Rightarrow\qquad c = \frac{a\,\sin\gamma}{\sin\alpha} \end{equation*}$

Sustituyendo los valores obtenemos:

$\begin{equation*} c = \frac{5\,\sin(100\textdegree)}{\sin(65\textdegree)} \approx 5.4330756\mbox{ cm} \end{equation*}$

Y terminamos.

La ley de senos sirve también para resolver problemas en diversos contextos.

Ejemplo 3

Una compañía constructora va a perforar un tunel a través de un cerro para reducir el tiempo de transporte de Acatlán (punto $A$ en la figura) a Bacatlán (punto $B$ ). Si el tunel está sobre la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$ , ¿cuál será la distancia de la carretera? Cazatlán es el punto $C$ indicado en la siguiente figura. Se midieron: $|\overline{AC}| = 31.6$ km, $\angle CBA = 45\textdegree$
y $\angle CAB = 71.6\textdegree$ .

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Empezamos notando que podemos calcular el valor del ángulo $\angle ABC$ :

$\begin{equation*} \angle ABC = 180\textdegree - 45\textdegree - 71.6\textdegree = 63.4\textdegree \end{equation*}$

Ahora podemos calcular la distancia entre los puntos $A$ y $B$ aplicando la ley de senos:

$\begin{equation*} |\overline{AB}| = \frac{31.6\,\sin(45\textdegree)}{\sin(63.4\textdegree)} \approx 39.9\mbox{ km} \end{equation*}$

También podemos calcular la distancia entre el punto $C$ y Bacatlán:

$\begin{equation*} |\overline{BC}| = \frac{31.6\,\sin(71.6\textdegree)}{\sin(45\textdegree)} \approx 42.4\mbox{ km} \end{equation*}$

Con esto hemos resuelto completamente el triángulo $\trianglele ABC$ . Esto significa que actualmente para llegar desde Acatlán a Bacatlán recorren, al menos, 31.6 km desde Acatlán hasta Cazatlán primero, y después 42.4 km desde Cazatlán hasta Bacatlán. $31.6 \mbox{ km} + 42.4 \mbox{ mk} = 74\mbox{ km}$ en total. Con la nueva carretera que pasará a través del tunel, la distancia se acorta a 40 km, aproximadamente.

Ejemplo 4

En el punto $A$ se encuentra un avión que viaja hacia el este, desde ahí a $70\textdegree$ grados hacia el norte (izquerda del frente del avión) se encuentra un aeropuerto. Si avanza 100 kilómetros, ubicándose el avión ahora en el punto $B$ , el mismo aeropuerto está a $70\textdegree$ al sur respecto del mismo avión. ¿A qué distancia se encuentran los puntos $A$ y $B$ del eropuerto?

Empezamos elaborando un diagrama para tener una mejor idea del problema:

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Definimos: $\alpha = 70\textdegree$ , y $\beta = 30\textdegree$ . El tercer ángulo $\gamma = 80\textdegree$ , porque $70\textdegree + 30\textdegree + 80\textdegree = 180\textdegree$ . Para calcular las distancias que queremos conocer aplicamos la ley de senos.

$\begin{equation*} \frac{|\overline{BC}|}{\sin(70\textdegree)} = \frac{100}{\sin(80\textdegree)} \qquad\Rightarrow\qquad |\overline{BC}| = \frac{100\,\sin(70\textdegree)}{\sin(80\textdegree)} \approx 95.42 \mbox{ km} \end{equation*}$

La distancia desde el punto $A$ hasta el punto $C$ es:

$\begin{equation*} \frac{|\overline{AC}|}{\sin(30\textdegree)} = \frac{100}{\sin(80\textdegree)} \qquad\Rightarrow\qquad |\overline{AC}| = \frac{100\,\sin(30\textdegree)}{\sin(80\textdegree)} \approx 50.77\mbox{ km} \end{equation*}$

Y hemos terminado.

Ejemplo 5

Marco notó que se forma un ángulo de $15\textdegree$ desde un punto $P$ en el suelo hasta la copa de un árbol, pero si avanza horizontalmente 20 metros hacia el árbol a un punto $Q$ , el ángulo que se forma es de $25\textdegree$ . ¿Cuál es la altura del árbol?

Empezamos haciendo un bosquejo de la situación:

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Dado que los ángulos $\angle RQT$ y $\angle TQP$ son suplementarios y $\angle RQT$ mide $25\textdegree$ , se sigue que $\angle TQP$ mide $155\textdegree$ . Ahora que conocemos dos ángulos internos del triángulo $\trianglele PQT$ podemos calcular la medida del ángulo $\angle PQT$ :

$\begin{equation*} \angle PQT = 180\textdegree - 15\textdegree - 155\textdegree = 10\textdegree \end{equation*}$

Ahora podemos aplicar la ley de senos para calcular la medida del lado $\overline{QT}$ :

$\begin{equation*} \frac{|\overline{QT}|}{\sin(15\textdegree)} = \frac{20}{\sin(10\textdegree)}\qquad\Rightarrow\qquad |\overline{QT}| = \frac{20\,\sin(15\textdegree)}{\sin(10\textdegree)} \approx 29.81\mbox{ metros} \end{equation*}$

Ahora podemos calcular la longitud del segmento $\overline{QR}$ , aplicando la definición de la función coseno en el triángulo rectángulo $\trianglele QRT$ :

$\begin{equation*} |\overline{QR}| = |\overline{QT}|\,\cos(25\textdegree) = 29.81\,\cos(25\textdegree) \approx 27.02\mbox{ metros} \end{equation*}$

Finalmente, podemos aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo $\trianglele QRT$ para calcular la altura del árbol. En este triángulo, la hipotenusa mide $|\overline{QT}| = 29.81$ , y el cateto conocido: $|\overline{QR}| = 27.02$ .

$\begin{eqnarray*} |\overline{RT}| &=& \sqrt{|\overline{QT}|^2 - |\overline{QR}|^2} \\ &=& \sqrt{(29.81)^2 - (27.02)^2} \\ &=& \sqrt{888.64 - 730.08} \\ &=& \sqrt{158.55} \\ &\approx& 12.59 \mbox{ metros} \end{eqnarray*}$

Ejemplo 6

Tenemos un triángulo con los ángulos A=40° y B=50° y tenemos al lado a=12. ¿Cuál es la longitud del lado b?

solución:

Tenemos la siguiente información:

A=40°
B=50°
a=12

En este caso, podemos usar la ley de los senos. Entonces, tenemos:

$\frac{�}{\sin (�)} = \frac{�}{\sin (�)}$

$\frac{12}{\sin (40)} = \frac{�}{\sin (50)}$

$\frac{12}{0.643} = \frac{�}{0.766}$

$15.55 = \frac{�}{0.766}$

$� = 15.55 (0.766)$

$� = 11.9$

La longitud de b es 11.9.

Y hemos terminado.

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EJEMPLOS DE LA LEY DE SENOS

Hasta ahora hemos resuelto triángulos rectángulos, pero también es común encontrar problemas con triángulos que no son rectángulos, como acutángulos u obtusángulos. Para resolver estos problemas el método que hemos utilizado no funciona, pero podemos utilizar la ley de senos.

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Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

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