identidades fundamentales y razónes entre funciones

 

FUNCIONES ENTRE FUNCIONES:

En trigonometría, la razón entre funciones se refiere a las relaciones que existen entre las funciones trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) y cómo se pueden expresar una en términos de las otras. Estas razones se basan en las identidades recíprocas, las identidades de cociente, y otras relaciones trigonométricas fundamentales.

Razones Entre Funciones

1. Identidades Recíprocas

   • Seno y Cosecante: $$\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}$$ $$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$$
   • Coseno y Secante: $$\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$$ $$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$$
   • Tangente y Cotangente: $$\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}$$ $$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$$

2. Razones entre funciones 

   • Tangente y Seno/Coseno: $$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$
   • Cotangente y Seno/Coseno: $$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Ejemplos de Razón Entre Funciones

Ejemplo 1

Simplifica la siguiente expresión usando razones entre funciones:

$$\frac{\sec \theta}{\tan \theta}$$

Solución: Reescribe usando las identidades:

$$\frac{\frac{1}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}} = \frac{1}{\sin \theta} = \csc \theta$$

---

Ejemplo 2

Simplifica la expresión:

$$\frac{\sec \theta + \tan \theta}{\sec \theta - \tan \theta}$$

Solución: Usa las identidades recíprocas y de cociente para simplificar la expresión en términos de seno y coseno.

---

Ejemplo 3

Demuestra que:

$$\frac{\csc \theta - \sec \theta}{\csc \theta + \sec \theta} = \frac{1 - \sin \theta}{1 + \sin \theta}$$

Solución: Reescribe usando las identidades recíprocas y simplifica la expresión para demostrar la igualdad.

---

Ejemplo 4

Simplifica la expresión:

$$\frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$$

Solución: Utiliza identidades trigonométricas para simplificar la expresión en términos de otras funciones trigonométricas.

Estos ejemplos ilustran cómo las razones entre funciones trigonométricas se utilizan para simplificar expresiones y demostrar identidades.